Question

6．直角坐标系xOy中，l是过定点M（1，2）且倾斜角为α的直线，在以直角坐标系原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）请写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C有两个不同交点A，B，Q为弦AB的中点，求|MQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t²+2t（cosα+sinα）+1=0．利用|MQ|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$与和差公式即可得出．

解答 解：（1）l是过定点M（1，2）且倾斜角为α的直线，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2y，配方为x²+（y-1）²=1．
（2）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t²+2t（cosα+sinα）+1=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα）．
∴|MQ|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=|cosα+sinα|=$|\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）|$∈$[0，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．