Question

已知函数f（x）满足．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的定义域；
（3）判定f（x）的奇偶性与实数a之间的关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设ax-1=t则x=，
由于，
∴=，
从而（4分）
（2）a＞0时，?x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
即函数的定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
a＜0时，?x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．
即定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）． （8分）
（3）当定义域关于原点对称时a=2，此时（10分）
∵，∴f（x）为奇函数，（13分）
当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，
故f（x）为非奇非偶函数． （15分）
分析：（1）令ax-1=t则x=，再利用条件：“”将其中的ax-1用t进行代换即可得出f（t），从而得出f（x）的表达式；
（2）对a进行分类讨论：a＞0时，a＜0时，再利用对数的真数为正数即可得出函数的定义域；
（3）利用 （1）求得的函数的定义域，当定义域关于原点对称时a=2，此时为奇函数；当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，f（x）为非奇非偶函数．
点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的应用、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．