Question

（08年潮州市二模理）（14分）已知函数的导数满足，常数为方程的实数根．

⑴ 若函数的定义域为I，对任意，存在，使等式=成立，

 求证：方程不存在异于的实数根；

⑵ 求证：当时，总有成立；

⑶ 对任意，若满足，求证．

Answer 1

解析：⑴．用反证法，

设方程有异于的实根，即，不妨设，则，在与之间必存在一点c，，

由题意使等式成立，    ……………………  2分

因为，所以必有，但这与矛盾．

因此，如若也是方程的根，则必有，即方程不存在异于的实数根．… 4分

  ⑵．令，   　…………………………………… 5分

， 　  ………………………………… 6分

为增函数．       ……………………………… 7分

又当时，，即 　………………………………… 9分

⑶．不妨设，为增函数，即 ……………………  10分

又函数为减函数．   ……………………………  11分

即  ……………………  12分

即

∴．    ………………………   14分