Question

（08年潮州市二模理）（14分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

⑴ 求证：平面BCD；

⑵ 求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

⑶ 求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解析：方法一：

⑴．证明：连结OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，   …………………  4分

    即  …………………  5分

   

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为

BC的中点知，

∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，………………  8分

在中，  

是直角斜边AC上的中线，∴     ……………  9分

∴，    ………………………  10分

∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为． ……………………………………  11分

⑶．解：设点E到平面ACD的距离为．

    ，  …………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，

    ∴点E到平面ACD的距离为  ……………………………  14分

 

方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

   

    ，    ……………   9分

    ∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．……   10分

    ⑶．解：设平面ACD的法向量为则

    ，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

    又

    ∴点E到平面ACD的距离  ．……… ………   14分