Question

已知sin(π+α)=-

10

10

，0＜α＜

π

2

，sin(

π

2

-β)=-

2 5

5

，π＜β＜

3π

2

，求α+β的值．

Answer 1

分析：利用诱导公式sin（π+α）=-sinα化简已知的第一个等式，得到sinα的值，再根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，同理根据诱导公式sin（

π

2

-α）=cosα化简已知的第二个等式，求出cosβ的值，由β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（α+β），将各自的值代入求出cos（α+β）的值，由α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的值．

解答：解：∵sin(π+α)=-

10

10

，
∴sinα=

10

10

，又0＜α＜

π

2

∴cosα=

1-sin2α

=

3 10

10

，
又sin(

π

2

-β)=-

2 5

5

，
∴cosβ=-

2 5

5

，又π＜β＜

3π

2

，
∴sinβ=-

5

5

，
∴cos（α+β）
=cosαcosβ-sinαsinβ
=

3 10

10

×（-

2 5

5

）-

10

10

×（-

5

5

）
=-

2

2

，
又∵π＜α+β＜2π，
∴α+β=

5π

4

．

点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．