Question

已知sin（α+β）=-

3

5

，cos（α-β）=

12

13

，且

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，求sin2α．

Answer 1

分析：角的变换是本题的主要知识，把2α=（α+β）+（α-β）表示，用两角和的正弦公式展开，在求α+β的余弦和α-β的正弦时注意角的范围．

解答：解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

∴π＜α+β＜

3π

2

，0＜α-β＜

π

4

∵sin（α+β）=-

3

5

，cos（α-β）=

12

13

∴cos（α+β）=-

4

5

，sin（α-β）=

5

13

∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=-

56

65

．

点评：利用同角三角函数的基本关系式解决问题：（1）已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值的方法．（2）求值时要注意各三角函数的符号，必要时分类讨论．（3）三角函数式的化简的方法和结果应满足要求．本题除了应用同角的三角函数关系之外，本题的一大亮点是角的变换