Question

设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，给出下列三个论断：
①f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称；
②f（x）的周期为π；
③f（x）的图象关于点(

π

12

，0)对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．

Answer 1

分析：分析知，为求ω，必须有②，又有①与条件-

π

2

＜φ＜

π

2

可解得，∅=-

π

6

，由此得f（x）=sin（2x-

π

6

），进行验证知f（x）的图象关于点(

π

12

，0)对称，由此知

① ②

?③．

解答：解：

① ②

?③，证明如下．
 由②知ω=2，故f（x）=sin（2x+φ）
 又f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称
 故sin（-

π

3

+φ）=±1
-

π

3

+φ=2kπ±

π

2

，k∈Z
又-

π

2

＜φ＜

π

2

，对k赋值知，∅=-

π

6

故f（x）=sin（2x-

π

6

）
令f（x）=sin（2x-

π

6

）=0
可得2x-

π

6

=kπ，k∈Z
故有x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，即对称中心的坐标是（

kπ

2

+

π

12

，0）
当k=0时，可知f（x）的图象关于点(

π

12

，0)对称．
故

① ②

?③

点评：本题考点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，在新教材的高考中，这种开放式答案不唯一的题近几年有增多的趋势．