Question

已知向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(1，-2)，且

m

•

n

=0．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f(x)=2

3

(1-2sin2x)+tanAsin2x的最大值和单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积和三角函数的商数关系即可得出；
（2）利用（1）的结论和倍角公式、两角和差的正弦公式即可化为f（x）=4sin(2x-

π

3

)，再利用周期公式和正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinA，cosA)，

n

=(1，-2)，且

m

•

n

=0．
∴sinA-2cosA=0，
∵cosA≠0，∴tanA=2．
（2）函数f(x)=2

3

(1-2sin2x)+tanAsin2x=-2

3

cos2x+2sin2x
=4(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)
=4sin(2x-

π

3

)．
∴当sin(2x-

π

3

)=1，即2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，x=kπ+

5π

12

（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)．

点评：熟练掌握三角函数的单调性、周期性、两角和差的正弦余弦公式、商数关系、向量的数量积等是解题的关键．