Question

已知曲线G:y=,定点A(2,0),点B是G上的动点,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,顶点A、B、C按顺时针排列,O是原点,求|OC|的最大值及此时C点的坐标.

Answer 1

思路分析:要求|OC|的最大值,关键是先求点C的轨迹方程.为此需要根据题设条件作出草图,然后根据所给条件列出方程,求出点C的坐标.

解:设B(x₁,y₁)、C(x,y)，则

由已知得＜0,且y₁＞0,

∴x₁-2＜0.

由(2),得=,

即,

综合(1)知y²=(x₁-2)².

∵y＞0,x₁-2＜0,

∴y=2-x₁.

∴x₁=2-y.                                                                  (4)

由(1)得y₁²=(x-2)².                                                          (5)

将(4)(5)代入(3),得(2-y)²+(x-2)²=1,

即(x-2)²+(y-2)²=1(x＞2).

故点C的轨迹是以O′(2,2)为圆心,半径为1的圆位于直线x=2右侧的部分.

故OC过圆心O′(2,2)时,|OC|最大,其最大值为1+2.

由

求得C(2+,2+),

即当C的坐标为(2+,2+)时,|OC|最大,最大值为1+2.