Question

已知函数f(x)=ax+

b

x-1

-a(a∈R，a≠0)在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立；

Answer 1

分析：（1）先由题意确定a值，再确定函数g（x）的表达式，然后求导数gˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，由直线的方程求出切线方程最后利用直线的截距求出围成的三角形面积为定值即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在m，k满足题意，再利用对定义域内任意x都成立，求出m，k的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）因为f′(x)=a-

b

(x-1)2

，所以f′(3)=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2（2分）
又g(x)=f(x+1)=ax+

2

x

.
设g（x）图象上任意一点P（x₀，y₀），因为g′(x)=a-

2

x2

，
所以切线方程为y-(ax0+

2

x0

)=(a-

2

x20

)(x-x0).（4分）
令x=0，得y=

4

x0

；再令y=ax，得x=2x₀，
故三角形面积S=

1

2

•|

4

x0

|•|2x0|=4，即三角形面积为定值．（6分）

（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+

2

x-1

-1
假设存在m，k满足题意，则有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k，
化简，得

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m对定义域内任意x都成立，（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0.

解得

m=2 k=0.

所以存在实数m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k对定义域内的任意x都成立．（12分）．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、根的存在性及根的个数判断、基本不等式、直线的截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．