Question

19．已知函数f（x）=（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$（a＞0，b＞0）为奇函数，则f（1）的最小值为（　　）

• A． 12
• B． 20
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 由函数为奇函数得到a，b的关系式，结合不等式的性质求出ab的最小值，代入f（1）得答案．

解答 解：∵函数f（x）=（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$（a＞0，b＞0）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即（ab-a-4b-5）x²-$\frac{a+4b}{x}$+（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$=0．
∴2（ab-a-4b-5）x² =0，则ab-a-4b-5=0．
即ab-5=a+4b，
∵a＞0，b＞0，
∴ab-5$≥2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}$，
∴ab-4$\sqrt{ab}$-5≥0，
解得：$\sqrt{ab}≤-1$（舍）或$\sqrt{ab}≥5$．
则ab≥25．
∴f（1）=ab-a-4b-5+a+4b=ab-5≥25-5=20．
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质，训练了不等式性质的应用及一元二次不等式的解法，属中档题．