Question

4．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数在x∈[-π，π]上的单调减区间；
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=g（x）的图象，若方程g（x）=m在（0，π）内有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．

Answer 1

分析 （1）由图象观察可得A，T，故可求ω=2，由点（$\frac{5π}{12}$，0）在图象上，可求φ，从而可求函数的解析式；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函数在x∈[-π，π]上的单调减区间；
（3）设x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），且方程f（x）=m有两个不同的实数根，通过函数的图象结合函数的对称轴，直接求实数m的取值范围和这两个根的和．

解答 解：（1）由图象观察可知：A=2，T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，故ω=2，
∵点（$\frac{5π}{12}$，0）在图象上，
∴2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，
∴可解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜π
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得：x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z
故在x∈[-π，π]上的单调减区间为：[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）和y=m（x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）的图象，
由图可知，当-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为：-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2；
当-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，两根和为$\frac{π}{6}$；当-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2时，两根和为$\frac{7π}{6}$．
∵方程g（x）=m在（0，π）内有两个不同的实数根，
∴当-2＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，两根和为$\frac{5π}{12}$；当-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜2时，两根和为$\frac{17π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力，是常考题型，属于中档题．