Question

各项均为正数的数列{a_n}，a₁=a，a₂=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．
（1）当时，求通项a_n；
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，令m=1，p=2，q=n-1，并将代入化简，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）记为b_m+n，则，考察函数 ，则在定义域上有，从而对n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立，结合，即可得证．
解答：（1）解：由得．
将代入化简得．
所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，从而，即．
（2）证明：由题设的值仅与m+n有关，记为b_m+n，则．
考察函数 ，则在定义域上有
故对n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立
又 ，
注意到，解上式得，
取，即有．
点评：本题考查数列递推式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．