Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|x+1|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；
（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x≤-1 -x+2，-1≤x≤ 1 2 3x，x≥ 1 2

；
且f（1）=f（-1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|-1＜x＜1}；…（4分）
（Ⅱ）|2x-a|+|x+1|=|x-

a

2

|+|x+1|+|x-

a

2

|≥|1+

a

2

|+0=|1+

a

2

|
当且仅当（x+1）（x-

a

2

）≤0且x-

a

2

=0时，取等号．
所以|1+

a

2

|=1，解得a=-4或0．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义的应用，考查转化是以及计算能力．