Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(Ⅱ) 设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) x＝3时有最大值，最大值为3

试题分析：(Ⅰ)存在使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时． 2分

下面证明：
当时，即此时，可知，过点作MP∥FD，与AF交于点，则有
，又FD＝，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MPEC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．   6分
(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．由已知BE＝x，，所以AF＝x(0x4)，FD＝6x．故．所以，当x＝3时，有最大值，最大值为3．                     12分
点评：本题第一问求解时可采用空间向量法，以F为原点建立坐标系，写出点P的坐标（用表示）通过直线的方向向量与平面的法向量垂直得到值即可求出点P的位置