Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1．
（I）求证：DC∥平面ABE；
（II）求证：AF⊥平面BCDE；
（III）求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

（I）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，
∴DC∥平面ABE …..（4分）
（II）证明：∵DC⊥平面ABC，AF?平面ABC
∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC=C，DC?平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE …..（8分）
（III）解：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，且四边形BCDE为直角梯形 …..（9分）
∵在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，F是BC的中点
∴BC=，…..（11分）
∵由（II）可知AF⊥平面BCDE
∴几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积
∴==2 …..（13分）
分析：（I）证明DC∥平面ABE，即证DC∥EB，利用DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可证；
（II）证明AF⊥平面BCDE，利用线面垂直的判定，证明DC⊥AF，AF⊥BC即可；
（III）几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积．
点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查几何体的体积，解题的关键是正确线面平行、垂直的判定方法，正确运用体积公式．