Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数）满足条件：①图象过原点；②f（1+x）=f（1-x）；③方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]的值域．

Answer 1

分析：（1）由①可得c=0，由②-

b

2a

=1，由③可得（b-1）²-4ac=0，联立方程组可得a、b、c的值，可得结论；
（2）可得函数在[-1，1]单调递增，在[1，2]单调递减，由二次函数的性质可得值域．

解答：解：（1）由①图象过原点可得f（0）=c=0，
由②f（1+x）=f（1-x）可得函数的对称轴为x=-

b

2a

=1
由③方程f（x）=x有两个相等的实根可得ax²+bx+c=x，
即ax²+（b-1）x+c=0有两个相等的实根，
故△=（b-1）²-4ac=0，
联立方程组可解得a=-

1

2

，b=1，
故f（x）的解析式为：f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
由二次函数的性质可知函数在[-1，1]单调递增，在[1，2]单调递减，
故当x=1时，函数取最大值f（1）=

1

2

，
当x=-1时，函数取最大值f（-1）=-

3

2

，
故f（x）在x∈[-1，2]的值域为[-

3

2

，

1

2

]

点评：本题考查二次函数的性质，涉及二次函数区间的最值的求解，属基础题．