Question

【题目】已知定义在上的函数是奇函数.

（1）求函数的值域；

（2）若在上单调递减，根据单调性定义求实数b的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若方程在区间上有且仅有两个不同的根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先由函数奇偶性，得到，求得，借助基本不等式可求函数的值域；

（2）先设，作差得，根据单调性的定义，即可求出结果；

（3）根据（1）（2）的结果，得到方程在区间上有且仅有一个非零根，设，根据二次函数零点分布的情况，即可列出不等式求解.

（1）因为定义在上的函数是奇函数，

所以，即；所以；

当时，；

当时，，根据基本不等式可得：若，则；若，则；即，即；

综上，函数的值域为；

（2）设，则，

因为在上单调递减，

所以，因为，，，所以，

故实数b的取值范围是；

（3）由（1）（2）得，方程可化为或，

由已知得，方程在区间上有且仅有一个非零根.

设，

①，解得：；

②，解得：.

综上，实数的取值范围是.