Question

如下图所示,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和.

Answer 1

答案：
解析：

解:设第n个正三角形的内切圆的半径为an. 因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的,故a1=atan30°=a×=a,a2=a1,…,an=an-1. ∴数列{an}是首项为a,公比为的等比数列.∴an=×()n-1a. 设前n个内切圆的面积和为Sn,则 Sn=π(a12+a22+…+an2)=πa12［1+()2+()2+()2］=πa12［1+()+()2+…+()n-1］=×(1-)π=(1-)π. 答:前n个内切圆的面积和是(1-)π.