Question

已知函数．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）当时，方程有实根，求实数的最大值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 当时，取得最大值0．

【解析】

试题分析：（1）． 1分

因为为的极值点，所以． 2分

即，解得．     3分

又当时，，从而的极值点成立． 4分

（2）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．             7分

以下给出两种求函数值域的方法：

方法1：因为，令，

则   ，             9分

所以当，从而上为增函数，

当，从而上为减函数，            10分

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．           12分

方法2：因为，所以．

设，则．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

因为，故必有，又，

因此必存在实数使得，

，所以上单调递减；

当，所以上单调递增；

当上单调递减；

又因为，

当，则，又．

因此当时，取得最大值0．  12分

考点：导数的运用

点评：主要是考查了运用导数来判定函数单调性以及函数的 极值问题，通过利用函数的单调性放缩法来证明不等式，进而得到最值，属于中档题。