Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；

（2）若函数在区间上无零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.

详解：(1) 函数的定义域为，

讨论：

当时，，

此时函数在上单调递增，满足题设；

当时，令，得；令，得,

所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又函数在区间上单调递增，所以，解得，

综上，实数的最小值是.

（2）由，得

设，则“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”

讨论：

当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数，

作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：

图1 图2

（i）如图1，，即，解得；

（ii）如图2，对任意恒成立

又当时，，所以，解得

又，得

综上，或；

当时，符合题意；

当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，

作出函数与函数满足题意的草图如下：

观察图象可知符合题意.

综上，所求实数的取值范围是.