题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
，
，点E为AD的中点，
，
平面ABCD，且
求证：
；
线段PC上是否存在一点F，使二面角
的余弦值是
？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
推导出
，
，从而
，由
平面
，得
，由此能证明
平面
，从而
推导出
两两垂直，建立以
为坐标原点，
所在直线分别为
，
，
轴的坐标系，利用向量法能求出线段
上存在一点
，当点满足
时，二面角
的余弦值是
证明：
，
，
，
，E为AD的中点，
，
≌
，
，
，
，
，
又
平面ABCD，
平面ABCD，
，
又
，且PH，
平面PEC，
平面PEC，
又
平面PEC，
．
解：
由
可知
∽
，
由题意得
，
，
，
，
，
，
，
、EC、BD两两垂直，
建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，
0，
，
0，，
4，，
0，，
0，
，
假设线段PC上存在一点F满足题意，
与
共线，
存在唯一实数
，
，满足
，
解得
，
设向量
y，
为平面CPD的一个法向量，且
，
，
，取
，得
，
同理得平面CPD的一个法向量
，
二面角的余弦值是，
，
由
，解得
，
，
，
线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．
【题目】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
