Question

等差数列{a_n}及等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a₂=b₂＞0，则当n≥3时有（　　）

A．a_n＞b_n

B．a_n=b_n

C．a_n≥b_n

D．a_n≤b_n

Answer 1

分析：利用等差数列、等比数列的图象公式、分类讨论、二项式定理、数学归纳法即可得出．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，a₁=b₁=a＞0，
∵a₂=b₂＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．
下面对d分类讨论（n≥3）：
①若d=0，则q=1，∴a_n=b_n=a；
②若d＞0，则d=a（q-1）＞0，∴q＞1．
∴a_n=a+（n-1）a（q-1），
bn=aqn-1=a[（q-1）+1]^n-1=a[1+

C

1 n-1

(q-1)+

C

2 n-1

(q-1)2+…+

C

n-2 n-1

(q-1)n-2+(q-1)n-1]，
∴b_n-a_n=a[

C

2 n-1

(q-1)2+…+

C

n-2 n-1

(q-1)n-2+(q-1)n-1]＞0，
∴b_n＞a_n．
③若d＜0，则0＜q＜1．当n≥3时，下面用数学归纳法证明：a_n＜b_n．（*）
（i）当n=3时，a₃=a+2d=a+2a（q-1）=a（2q-1）＜aq²=b₃，即此时成立．
（ii）假设当n=k≥3时，不等式成立，即a+（k-1）d＜aq^k-1，
则n=k+1时，a_k+1=a_k+d＜b_k+d，
下面证明：b_k+d＜b_k+1，即证明aq^k-1+a（q-1）＜aq^k，
即证明q-1＜q^k-1（q-1），
∵0＜q＜1，∴即证明1＞q^k-1，而此式显然成立，因此当n=k+1时，不等式（*）成立，即a_n＜b_n．
由上可知：不等式（*）对任意的大于3的正整数都成立．
综上①②③可知：对?n∈N^*（n≥3）都有a_n≤b_n．
故选D．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列的图象公式、分类讨论、二项式定理、数学归纳法是解题的关键．