Question

（本题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：….

Answer 1

（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

(I)求导，根据导数求其极值最值，但要注意函数的定义域．
(II)本小题的实质是在上恒成立问题，然后再转化为函数最值来解决即可．
(III) 由（Ⅱ），取设，
则，即.于是.
然后解决此问题要用到不等式的放缩，关键是
，然后再利用裂项求和的方法即可证明．
解：（Ⅰ）函数的定义域为，.
当，当.
∴ 为极小值点.极小值g(1)=1.                 ………………（4分）
（Ⅱ）.
上恒成立，即在上恒成立.
又，所以.
所以，所求实数的取值范围为.               ………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），取设，
则，即.于是.


.   
所以.     ……………（14分）