题目内容
已知抛物线y2=4ax(a＞0)的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径的圆在x轴的上方与该抛物线交于点M、N.(1)求证:A点在以M、N为焦点且过F的椭圆上;
(2)设P是MN的中点,是否存在这样的正实数a,使得|PF|是|FM|和|FN|的等差中项?若存在,求出a的值;如不存在,请说明理由.
(1)证明：设圆A的方程为(x-a-4)2+y2=16,将y2=4ax代入得x2+(2a-8)x+a2+8a=0.
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=8-2a,x1x2=a2+8a.
由题意Δ=(2a-8)2-4(a2+8a)＞0,
∴0＜a＜1.
由抛物线定义知|MF|=x1+a,|NF|=x2+a,
∴椭圆的长轴长为|MF|+|NF|=x1+x2+2a=(8-2a)+2a=8.
又|AM|+|AN|=2|AF|=8,
∴A点在以M、N为焦点且过F的椭圆上.
(2)解：假设存在满足条件的正实数a,则由2|FP|=|MF|+|NF|=8,知|FP|=4.
设P(x0,y0),则
x0=
=4-a,y0=
=
.
由|FP|=4,得(a-x0)2+y02=16,即(2a-4)2+(-2a2+8a+2a
)=16.
整理得a(a-4+
)=0,
∴a1=0,a2=1.
此时a1、a2
(0,1),
∴满足条件的正实数a不存在.
练习册系列答案
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，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．