Question

（2012•道里区二模）已知函数f(x)=ln(x+1)+

a

x+2

（1）当a=

25

4

时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；
（2）由ln(x+1)+

a

x+2

＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，确定函数的最值，即可求a的取值范围；
（3）先证明ln(x+1)＞

x

x+2

，取x=

1

k

，即可证得结论．

解答：（1）解：当a=

25

4

时，f′(x)=

4x2-9x-9

4(x+1)(x+2)2

=

(4x+3)(x-3)

4(x+1)(x+2)2

（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得-

3

4

＜x＜3，∴f（x）的单调递减区间为(-

3

4

，3)…（4分）
（2）解：由ln(x+1)+

a

x+2

＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，则g′(x)=1-ln(x+1)-

x+2

x+1

=-ln(x+1)-

1

x+1

当x＞0时 g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减
又g（0）=2•[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）
（3）证明：由（Ⅱ）知 ln(x+1)+

2

x+2

＞1（x＞0）
∴ln(x+1)＞

x

x+2

取x=

1

k

得ln(

1

k

+1)＞

1 k

1 k +2

，即ln(

k+1

k

)＞

1

2k+1

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．