Question

已知单位向量，的夹角为，且=2+k，=+，=-2；
（1）若A，B，D三点共线，求k的值；
（2）是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）若△ABC中角B为钝角，求k的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量共线的充要条件，可得A，B，D三点共线，则=λ，构造方程可求出k的值；
（2）根据两个向量垂直，向量积为0，分别讨论△ABD中，角B为直角，角A为直角和角D为直角时，关于k的方程是否有解，最后综合讨论结果，可得是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形．
（3）若△ABC中角B为钝角，可得，夹角为锐角，即•＞0，解出k值后，除去让，共线时的k值，可得答案．
解答：解：（1）∵=2+k，=+，=-2；
∴=+=2-；
∵A，B，D三点共线，
∴=λ
即2+k=λ（2-）
即
解得k=-1
（2）∵单位向量，的夹角为，
∴=1，=1，•=
在△ABD中，
若角B为直角，则•=（2+k）•（2-）=0，此时方程无解；
若角A为直角，则•=•（+）=（2+k）•[4+（k-1）]=0，即k²+2k+7=0此时方程无解；
若角D为直角，则•=•（+）=（2-）•[4+（k-1）]=0，此时方程无解；
综上点A、B、D不能构成直角三角形，
（3）若△ABC中角B为钝角，则，夹角为锐角，
∴•=（2+k）•（+）=3+＞0，解得k＞-2
又∵k＞2时，，同向，夹角为0°
故k的范围为（-2，2）∪（2，+∞）
点评：本题考查的知识点是向量平行，向量垂直，向量的夹角，熟练掌握向量平等、垂直、夹角公式是解答的关键，其中（3）易忽略两向量共线时的情况，而错解为（-2，+∞）