Question

设椭圆C₁的方程为＝1，(a＞b＞0)．曲线C₂的方程为y＝．且C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P．

(1)试用a表示点P的坐标；

(2)设A，B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；

(3)记min{y₁，y₂…y_n}为y₁，y₂…y_n中最小的一个，设g(a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)＝min{g(a)，S(a)}的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)将y＝代入椭圆方程得：＋＝1．代而得：b2x4－a2b2x2＋a2＝0．由条件，有△＝a4b4－4a2b2＝0．得ab＝2，于是可由方程解得：x＝，x＝－(舍去)．故P的坐标为(，) 　　(2)在△ABP中，底边｜AB｜＝2，高为 　　∴S(a)＝·2×＝ 　　∵a＞b＞0，b＝， 　　∴a＞即a＞，得0＜＜1 　　∴0＜S(a)＜ 　　(3)．g(a)＝c2＝a2－b2＝a2－ 　　解不等式g(a)≥S(a)，即a2－≥，a8－10a4＋24≥0，a4≥6或a4≤4，a≤(舍)或a≥故f(a)＝min{g(a)，S(a)}＝．