Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点，
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面SMN的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB， ∵SA=SC，BA=BC， ∴AC⊥SD且AC⊥DB， ∴AC⊥平面SDB， 又SB平面SDB， ∴AC⊥SB； （Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC， ∴SD⊥平面ABC， 过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM， ∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角， 由已知有DE， 所以DE=1， 又SA=SC=2，AC=4， ∴SD=2， 在Rt△SDE中，tan∠SED==2， ∴二面角S-CM-A的大小为arctan2。 （Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=， CM是边长为4的正△ABC的中线，， ∴S△SCM=CM·SE=， 设点B到平面SCM的距离为h， 由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC， 得S△SCM·h=S△CMB·SD， ∴h=， 即点B到平面SCM的距离为。