Question

【题目】已知抛物线:的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图1.已知，且四边形的面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）通过借助抛物线的几何性质，设，通过勾股定理可求得，借助线段关系可求得，再借助梯形面积公式最终可求得值，进而求得抛物线的方程；（2）先通过设而不求得方法分别表示出，，和直线的斜率为和的斜率，通过正方形的边长关系代换出与直线的斜率的关系，将面积用含的式子整体代换表示，最终通过均值不等式处理可求得正方形面积的最小值.

（1）设，

由已知，则，，

四边形的面积为，

∴，抛物线的方程为：.

（2）设，，，直线的斜率为.

不妨，则显然有，且.

∵，∴.

由得

即，

即.

将，代入得，

∴，

∴.

故正方形面积为

.

∵，∴（当且仅当时取等）.

又∵，

∴，

∴（当且仅当时取等）.从而，

当且仅当时取得最小值.