题目内容
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为BD1的中点，G在CD上，且CG=
，H为C1G的中点，求
（1）FH的长；
（2）直线FH与直线BD1的夹角θ的余弦值．
| CD | 4 |
（1）FH的长；
（2）直线FH与直线BD1的夹角θ的余弦值．
分析：（1）建立空间直角坐标系，分别表示出F，H的坐标，从而可求向量FH的模，进而可得FH的长．
（2）由（1）知
=(-2，
，0)，
=(-4，-4，4)，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求所成角的余弦值．
（2）由（1）知
| FH |
| 3 |
| 2 |
| BD1 |
解答：
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则F（2，2，2），C（0，4，0），B1（4，4，4），C1（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H为C1G的中点
∴H(0，
，2)
∵F（2，2，2）
∴|
|=
=
∴FH=
；
（2）由（1）知
=(-2，
，0)，
=(-4，-4，4)，
∴|
|=
=
，|
|=
=4
，
•
=(-2)•(-4)+
•(-4)+0•4=2，
∴cos＜
，
＞ =
=
故直线FH与直线BD1的夹角θ的余弦值是
．
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．则F（2，2，2），C（0，4，0），B1（4，4，4），C1（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H为C1G的中点
∴H(0，
| 7 |
| 2 |
∵F（2，2，2）
∴|
| FH |
(0-2)2+(
|
| 5 |
| 2 |
∴FH=
| 5 |
| 2 |
（2）由（1）知
| FH |
| 3 |
| 2 |
| BD1 |
∴|
| FH |
(-2)2+(
|
| 5 |
| 2 |
| BD1 |
| (-4)2+(-4)2+42 |
| 3 |
| FH |
| BD1 |
| 3 |
| 2 |
∴cos＜
| FH |
| BD1 |
| 2 | ||||
|
| ||
| 15 |
故直线FH与直线BD1的夹角θ的余弦值是
| ||
| 15 |
点评：本题以正方体为载体，主要考查线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．
练习册系列答案
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