Question

【题目】已知函数 且 .
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）求函数 在区间 上的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 当 时，

,

由 ，解得 ,所以函数 的单调递增区间是 .

由 ,解得 ,

所以函数 的单调递减区间是 .

所以函数 的极小值为 无极大值

（2）解: 当 时, ,

设 ,当 时， ,此时 恒成立，

所以 在 上单调递增，所以 .当 时，

,令 ,即 ,

解得 或 ；

令 ,即 ,解得 .

①当 时，即当 时, 对 恒成立，

则 在 区间单调递减, 所以 .

②当 时，即当 时, 在区间 上单调递减,

在区间 上单调递增, 所以 .

③当 ，即 时, 对 恒成立，

则 在区间 单调递增，所以 .

综上所述，当 时， ,

当 时， ；

当 或 时,

【解析】(1)首先求出原函数的导函数，利用导函数在不同区间的正负情况得出原函数的单调性进而得到其极值。(2)先求出函数的导函数，再通过对a分情况讨论确定导函数的正负进而得到原函数f(x)在指定区间上的单调性，进而得到函数的最小值。
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．