Question

（2013•奉贤区一模）若函数f（x）=log

(x+ 1 x ) 2

-a在区间[

1

2

，2]内有零点，则实数a的取值范围是

[1，log2

5

2

]

．

Answer 1

分析：先求出函数f（x）=log

(x+ 1 x ) 2

-a在区间[

1

2

，2]的值域，进而即可求出a的取值范围．

解答：解：设u（x）=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]，则u′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，令u^′（x）=0，x∈[

1

2

，2]，解得x=1．
当

1

2

≤x＜1时，u^′（x）＜0，u（x）单调递减；当1＜x≤2时，u^′（x）＞0，u（x）单调递增．
又∵f（u）=log₂u在区间[

1

2

，2]上单调递增，∴f（x）在区间[

1

2

，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．
又f（1）=1，f（2）=log2

5

2

=f(

1

2

)，
∴函数f（x）在x=1处取得最小值1，在x=2或

1

2

处取得最大值log2

5

2

，因此函数f（x）的值域为[1，log2

5

2

]．
要使函数f（x）=log

(x+ 1 x ) 2

-a在区间[

1

2

，2]内有零点，则实数a的取值范围一定是[1，log2

5

2

]．
故答案为[1，log2

5

2

]．

点评：利用复合函数的单调性正确求出函数f（x）=log

(x+ 1 x ) 2

-a在区间[

1

2

，2]的值域是解题的关键．