题目内容

（2013•奉贤区一模）等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N*，数列{an}满足cn=2an
（1）求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=
1
an•an+1
，Tn为数列{bn}的前n项和．求
lim
n→∞
Tn；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c1，代入等比数列的通项公式可求cn，然后由cn=2an可求an，
（2）由bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
，考虑利用裂项求和即可求解Tn，进而可求
lim
n→∞
Tn
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，结合（2）代入可得
3
n
=
-2m2+4m+1
m2
＞0，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N*，m＞1可求
解答：解：（1）解：由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c1+4c1=10
∴c1=2（3分）
由等比数列的通项公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
∵cn=2an=22n-1
∴an=2n-1（15分）
（2）∵bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)(2n+1)

∴bn=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)（6分）
于是Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
n
2n+1
（8分）
∴
lim
n→∞
Tn=
1
2
（10分）
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，
则(
m
2m+1
)2=
1
3
•
n
2n+1
，（12分）
可得
3
n
=
-2m2+4m+1
m2
＞0，
由分子为正，解得1-
6
2
＜m＜1+
6
2
，
由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．             （16分）
说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用
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