Question

已知二次函数f（x）=x²-x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）-2在(-1，

3

2

)上有两个不同的零点，则

[f(x)]2+2

f(x)

的最小值为

81

28

．

Answer 1

分析：根据函数g（x）=x²-x+k-2在(-1，

3

2

)上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k值从而得出二次函数f（x）=x²-x，值域，再将

[f(x)]2+2

f(x)

=f(x)+

2

f(x)

结合基本不等式即可求出

[f(x)]2+2

f(x)

的最小值．

解答：解：若函数g（x）=x²-x+k-2在(-1，

3

2

)上有两个不同的零点，k∈Z，则k=2．
∴二次函数f（x）=x²-x+2，其值域f（x）∈[

7

4

，+∞），

[f(x)]2+2

f(x)

=f(x)+

2

f(x)

≥2

f(x)• 2 f(x)

=2

2

，
当且仅当f（x）=

2

f(x)

即f（x）=

2

时取等号，
而

2

∉[

7

4

，+∞），
∴当f（x）=

7

4

时，

[f(x)]2+2

f(x)

的最小值为

81

28

．
故答案为：

81

28

点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．