Question

已知函数f(x)=

1-x2

，若直线y=2x+m与函数图象始终相交，则实数m的取值范围

[-2，

5

]

．

Answer 1

分析：由题意可得，函数的图象表示一个半圆，直线y=2x+m与函数图象始终相切时，由1=

|0-0+m|

5

求得 m的值．当直线y=2x+m过点A（1，0）时，求得m的值，数形结合可得
实数m的取值范围．

解答：解：由函数y=f(x)=

1-x2

，可得 x²+y²=1 （y≥0），表示一个以原点O为圆心，半径等于1的位于x轴及x轴上方的半圆，如图所示：
由于直线y=2x+m与函数图象始终相切，由1=

|0-0+m|

5

 求得 m=

5

，或 m=-

5

（舍去）．
当直线y=2x+m过点A（1，0）时，有0=2+m，m=-2．
数形结合可得实数m的取值范围是[-2，

5

]，
故答案为[-2，

5

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．