题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令b_n= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜ $数学公式$ （n≥1）．

解：（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题意知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，由此可证明Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜ $\text{[math]}$ （n≥1）．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．