Question

如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，

E是棱CC₁上的点，且CE=CC₁.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE.

Answer 1

（1）（2）证明略

（1）∵CE=CC₁=，

∴V_C—BDE=V_E—BCD=S_△BCD·CE
=××1×1×=.
(2)证明 连接AC、B₁C.      
∵AB=BC，∴BD⊥AC.
∵A₁A⊥底面ABCD,
∴BD⊥A₁A.
∵A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC.
∴BD⊥A₁C.
∵tan∠BB₁C==,
tan∠CBE==,∴∠BB₁C=∠CBE.
∵∠BB₁C+∠BCB₁=90°,
∴∠CBE+∠BCB₁=90°,∴BE⊥B₁C.
∵BE⊥A₁B₁，A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BE⊥平面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C.
∵BD∩BE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，
∴A₁C⊥平面BDE.