题目内容
12．已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球．顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心．当四棱锥P-ABCD的体积最大时，四棱锥的高为$\frac{4}{3}$．分析 利用射影定理，确定正方形的边长与四棱锥的高的关系，表示出四棱锥的体积，利用基本不等式求出四棱锥P-ABCD的体积最大．
解答 解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2-h），
四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}•{4a}^{2}h$=$\frac{1}{3}•h•h•（4-2h）$≤$\frac{1}{3}$•$（\frac{h+h+4-2h}{3}）^{3}$=$\frac{64}{81}$，
当且仅当h=4-2h，即h=$\frac{4}{3}$时四棱锥P-ABCD的体积最大，
故答案为：$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查四棱锥P-ABCD的体积最大值，考查基本不等式的运用，确定正方形的边长与四棱锥的高的关系是关键．
练习册系列答案
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2．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 6 | D． | 5 |
如图所示，正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，F，G分别为CE，AB的中点．
20．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了100人，他们月收入（单位百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表．
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有95%的把握认为“月收入以5500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；
（Ⅱ）若对月收入在[15，25），[55，65）的不赞成“楼市限购令”的调查人中随机选取2人进行追踪调查，则选中的2人中恰有1人月收入在[15，25）的概率．
（下面的临界值表供参考）
（参考公式${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）
| 月收入 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，45） | [55，65） | [65，75） |
| 频数 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
| 赞成人数 | 8 | 16 | 24 | 12 | 6 | 4 |
| 月收入低于55百元的人数 | 月收入高于55百元的人数 | 合计 | |
| 赞成 | a= | c= | |
| 不赞成 | b= | d= | |
| 合计 |
| P（K2≥k） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）
17．自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟，在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果（ ）
①报考“北约”联盟的考生，都没报考“华约”联盟
②报考“华约”联盟的考生，也报考了“京派”联盟
③报考“卓越”联盟的考生，都没报考“京派”联盟
④不报考“卓越”联盟的考生，就报考“华约”联盟
根据上述调查结果，下述结论错误的是（ ）
①报考“北约”联盟的考生，都没报考“华约”联盟
②报考“华约”联盟的考生，也报考了“京派”联盟
③报考“卓越”联盟的考生，都没报考“京派”联盟
④不报考“卓越”联盟的考生，就报考“华约”联盟
根据上述调查结果，下述结论错误的是（ ）
| A． | 没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的考生 | |
| B． | 报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 | |
| C． | 报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 | |
| D． | 报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 |
4．
为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．
（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；
（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
临界值表：
为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；
（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？
| 成绩小于60分人数 | 成绩不小于60分人数 | 合计 | |
| 高一年级 | |||
| 高二年级 | |||
| 合计 |
临界值表：
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
1．2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如图1所示：
对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]五组，并作出如下频率分布直方图（如图2）：
（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的2×2列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为总体概率．现采用随机抽样方法抽取3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草”的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E（X）和方差D（X）．
下面的临界值表供参考：
（参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]五组，并作出如下频率分布直方图（如图2）：
（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的2×2列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关？
| 喜欢头上长“草”的造型 | 不喜欢头上长“草”的造型 | 合计 | |
| 喜欢动画片 | 30 | ||
| 不喜欢动画片 | 6 | ||
| 合计 |
下面的临界值表供参考：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD的边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．