Question

若不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

对任意的正数x，y恒成立，则正数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：把不等式两边同时乘以

1

xy

，然后利用基本不等式求得不等式左侧的最小值，由

1

k

小于等于该最小值求得k的取值范围．

解答： 解：不等式

x2

4

+3y2≥

xy

k

对任意的正数x，y恒成立，
即

x2 4 +3y2

xy

≥

1

k

对任意的正数x，y恒成立，
∵

x2 4 +3y2

xy

≥

2 x2 4 •3y2

xy

=

3

，
∴

1

k

≤

3

，∵k＞0，∴k≥

3

3

．
∴正数k的取值范围是[

3

3

，+∞）．
故答案为：[

3

3

，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．