Question

已知△ABC的三内角A、B、C所对边分别为a、b、c，△ABC的面积为12，且bcsin(

3π

2

+A)=18，求cosA的值及向量

m

=(b，c)模的最小值．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式，由已知三角形的面积列出关系式，表示出sinA，再利用诱导公式化简已知的等式，得到关系式，表示出cosA，将表示出的sinA和cosA代入sin²A+cos²A=1中，整理后得到bc的值，将bc的值代入表示出的cosA中，求出cosA的值，然后利用向量模的计算公式表示出向量

m

的模，利用基本不等式变形后，将bc的值代入可得出|

m

|的最小值．

解答：解：∵△ABC的面积为12，∴

1

2

bcsinA=12，即sinA=

24

bc

，
又bcsin（

3π

2

+A）=18，∴bccosA=-18，即cosA=-

18

bc

，
分别代入sin²A+cos²A=1中得：（

24

bc

）²+（

18

bc

）²=1，
整理得：bc=30，
∴cosA=-

18

30

=-

3

5

，又

m

=（b，c），
∴|

m

|=

b2+c2

≥

2bc

=2

15

，
当且仅当b=c时取等号，
则|

m

|的最小值为2

15

．

点评：此题考查了三角形的面积公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，向量模的计算，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．