Question

（2012•黔东南州一模）已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F₂，F₂在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF₂Q是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过F₂的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据C的两条渐近线相互垂直，且F₂到其中一条渐近线的距离为2，建立方程组，求出几何量，从而可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）这样的直线不存在，分类讨论．当直线l斜率存在时，设其方程代入双曲线方程，利用韦达定理及

OA

⊥

OB

，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F₂到其中一条渐近线的距离为2，
∴

b a ×(- b a )=-1 bc a2+b2 =2

，∴

a=2 b=2

故双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

4

=1．                              …（5分）
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：…（7分）
当直线l的斜率不存在时，结论不成立                         …（8分）
当直线l斜率存在时，设其方程为y=k(x-2

2

)，并设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由|MA|=|MB|=|MO|知

OA

⊥

OB

…（9分）
∵

y=k(x-2 2 ) x2-y2=4

，∴(1-k2)x2+4

2

k2x-8k2-4=0(k2-1≠0)
∴

x1+x2= 4 2 k2 k2-1 x1x2= 8k2+4 k2-1

…（10分）
故

OA

•

OB

=(x1，y1)(x2，y2)=(k2+1)x1x2-2

2

k2(x1+x2)+8k2=0…（11分）
∴

(k2-1)(8k2+4)

k2-1

-

16k4

k2-1

+8k2=0
∴k²=-

1

3

，这不可能
综上可知，不存在这样的直线．                                 …（12分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，联立方程，正确运用韦达定理是关键．