Question

设函数.
（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查函数思想、综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，属于恒成立问题，通过导数将单调性问题转化为求函数最值的问题，根据基本不等式求最值；第二问，属于存在性问题，构造函数转化为求函数最值问题，用导数判断函数的单调性求最值.
试题解析：(1) ，
依题意，在内恒成立，
只需在内恒成立 ，
只需在内恒成立，
只需 ，
故在其定义域内为单调递增函数时的取值范围是  .(6分)
(2)依题意，在上有解 ，
设，，
，
因为，，所以在上恒成立，
所以在上是增函数，所以，依题意，要在上有解，只需，
所以，解得，
故所求的取值范围是 .(12分)
考点：1.恒成立问题；2.函数最值；3.存在性问题；4.判断函数的单调性.