Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$且过点P（2，2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过M（-1，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂，△F₁AF₂、△F₁BF₂的面积分别为S₁、S₂，试确定|S₁-S₂|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）设直线l的方程为：my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（m²+2）y²-2my-11=0，S₁=c|y₁|，S₂=c|y₂|，可得|S₁-S₂|=$\sqrt{6}$|y₁+y₂|，利用根与系数的关系、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得：a²=12，$b=c=\sqrt{6}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
（2）设直线l的方程为：my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，化为：（m²+2）y²-2my-11=0，
△＞0，∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$．
∵S₁=$\frac{1}{2}×2c|{y}_{1}|$=c|y₁|，S₂=c|y₂|，
∴|S₁-S₂|=$\sqrt{6}$||y₁|-|y₂||=$\sqrt{6}$|y₁+y₂|=$\frac{2\sqrt{6}|m|}{{m}^{2}+2}$，
m=0时，|S₁-S₂|=0．
m≠0时，0＜|S₁-S₂|=$\frac{2\sqrt{6}}{|m|+\frac{2}{|m|}}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，当且仅当|m|=$\sqrt{2}$时取等号．
综上可得：|S₁-S₂|的取值范围是$[0，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．