Question

如图，DA⊥平面ABC，BC⊥AC，E、F分别为BD与CD的中点，DA=AC=BC=2．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：EF⊥平面DAC；
（3）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）连接EF，证明EF∥BC，由线面平行的判定定理可证EF∥平面ABC；
（2）利用线面垂直的性质证明DA⊥BC，又BC⊥AC，由线面垂直的判定定理可证EF⊥平面DAC；
（3）先求三棱锥E-ADF的高与底面面积，再根据三棱柱的换底性，求三棱锥E-ADF的体积可得答案．

解答：解：（1）证明：连接EF，
∵E，F为中点，∴EF∥BC，
∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵DA⊥面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，
∵BC⊥AC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面DAC
又∵EF∥BC，∴EF⊥平面DAC；
（3）连接AE，AF，由（2）知EF⊥平面ABC，
∴EF为三棱锥E-ADF的高，EF=

1

2

BC=1，
又AD=AC，AD⊥AC，F为CD的中点，
∴AF⊥CD，AF=

2

，DF=

2

，
∴VD-AEF=VE-ADF=

1

3

×S△ADF×EF=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×1=

1

3

．

点评：本题考查了线面平行的证明，线面垂直的证明，考查了三棱锥的体积计算，利用三棱锥的换底性求其体积是常用方法．