Question

（2008•深圳一模）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）求二面角M-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，借助于数量积为0，从而可证DM⊥EB；
（Ⅱ） 先求平面的法向量，利用法向量的夹角，求面面角．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
并设EA=DA=AB=2CB=2，则
（Ⅰ）

DM

=(1，1，-

3

2

)，

EB

=(-2，2，0)，
所以

DM

•

EB

=0，从而得DM⊥EB；
（Ⅱ）设

n1

=(x，y，z)是平面BDM的
法向量，则由

n1

⊥

DM

，

n1

⊥

DB

及

DM

=(1，1，-

3

2

)，

DB

=(0，2，-2)
得

n1 • DM =x+y- 3 2 z=0 n1 • DB =2y-2z=0

⇒可以取

n1

=(1，2，2)．
显然，

n2

=(1，0，0)为平面ABD的法向量．
设二面角M-BD-A的平面角为θ，则此二面角的余弦值cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

3

．

点评：本题以空间向量为手段，考查线线位置关系，考查面面角，关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量．