Question

如图，在Rt△PAQ中，点P的坐标为（-8，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，∠PAQ=90°，在AQ的延长线上取一点M，使|AQ|=|MQ|．
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E；
（2）直线l：y=kx-1与轨迹E交于B、C两点，已知点F的坐标为（1，0），当∠BFC为钝角时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（0，b），Q（a，0），M（x，y）又M在AQ的延长线且|AQ|=|QM|，得到

AQ

=

QM

，得到a，b与x，y的关系，
又△PAQ为直角三角形，得到b²=8a，将a，b用x，y代替即可．
（2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到x1x2=

1

k2

，x1+x2=

2k+4

k2

，将∠BFC为钝角转化为两向量的数量积小于0但不为-1，列出关于k的不等式，求出k的范围．

解答：解：（1）设A（0，b），Q（a，0），M（x，y）
Q在x轴正半轴上，∴a＞0
又M在AQ的延长线且|AQ|=|QM|
∴

AQ

=

QM

…（2分）
即（a，-b）=（x-a，y）
∴

x=2a y=-b

…（4分）
又△PAQ为直角三角形
∴b²=8a
∴y²=4x（x＞0）…（6分）
点M的轨迹E是焦点为（1，0），顶点在原点的抛物线不包括顶点（0，0）…（8分）
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由

y=kx-1 y2=4x

得 k²x²-（2k+4）x+1=0
所以x1x2=

1

k2

，x1+x2=

2k+4

k2

∵l与E有两个交点
∴

k2≠0 (2k+4)2-4k2＞0

得k＞-1且k≠0①…（8分）
∵∠BFC为钝角
∴

FB

•

FC

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-1)(kx2-1)＜0
即（k²+1）x₁x₂-（1+k）（x₁+x₂）+2＜0
∴

k2+1

k2

-(1+k)

2k+4

k2

+2＜0
得 k²-6k-3＜0
解得  3-2

3

＜k＜3+2

3

②…（10分）
当

FB

、

FC

反向共线时，k=1   ③…（12分）
综合①②③得，k的取值范围：(3-2

3

，0)∪(0，1)∪(1，3+2

3)

…（14分）

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，然后再找突破口．