Question

直线l经过第一象限内的点M(a,b),与x、y轴的正半轴相交于点P、Q,求线段PQ的最小值,及取得最小值时直线的方程.

Answer 1

解：设l的方程为+=1(m、n＞0),

则=1,引进待定常数(a^2α+b^2α)(α∈R).

由柯西不等式,得

(m²+n²)(a^2α+b^2α)≥(ma^α+nb^α)²

=(ma^α+nb^α)²·1²

=(ma^α+nb^α)²()²

=［(ma^α+nb^α)()］²

≥［()²］²=()⁴.

当且仅当时,第一个不等式取等号;当且仅当时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,

即α=,亦即α=时,(m²+n²)()≥()⁴取等号.所以|PQ|=,|PQ|_min=.

此时k=-=-,

∴l:y-b=-.