Question

（2012•嘉定区三模）已知函数f（x）=

x

ax+b

（a、b是非零实常数）满足f（1）=

1

2

，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（

1

4

，

1

2

]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，a+b=2，由x（

1-ax-b

ax+b

）=0有且仅有一个实数解x=0可求得b=1，a=1；
（2）由（1）知，P（x，

x

x+1

），从而可得|AP|²=(

1

x+1

+1)2+[（x+1）-1]²，通过换元，令t=

1

x+1

，得|AP|²=(t-

1

t

)2+2（t-

1

t

）+4，再令r=t-

1

t

，通过配方即可求得|AP|的最小值；
（3）依题意，x∈（

1

4

，

1

2

]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1恒成立，通过对m+1＞0与m+1＜0的讨论，结合函数恒成立问题即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

ax+b

，且f（1）=

1

2

，
∴

1

a+b

=

1

2

，即a+b=2；
又

x

ax+b

=x有且仅有一个实数解，
∴x（

1-ax-b

ax+b

）=0有且仅有一个实数解，为0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=

x

x+1

．
（2）由（1）知，P（x，

x

x+1

），
|AP|²=(

x

x+1

-2)2+x²
=(

-x-2

x+1

)2+x²
=(

1

x+1

+1)2+[（x+1）-1]²，
令t=

1

x+1

，
则|AP|²=t²+2t+1+(

1

t

)2-

2

t

+1
=(t-

1

t

)2+2（t-

1

t

）+4，
令r=t-

1

t

，
则|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，
∴当r=-1，即t-

1

t

=-1，t=

-1± 5

2

时，|AP|的最小值为

3

．
（3）∵x∈（

1

4

，

1

2

]，
∴x+1＞

5

4

＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?x＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1，
当m+1＞0，即m＞-1时，
有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min，
∴-1＜m＜

5

4

；
当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）_max=

3

2

，
∴此时m不存在．
综上得-1＜m＜

5

4

．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查方程思想、分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查换元法与配方法，考查推理与运算能力，属于难题．