Question

在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

．
求（1）∠BAC的大小；
（2）∠ABC的大小和

AC

AD

的值．

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAD，∠CAD的三角函数值，然后由cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）利用两角和的余弦函数可求cos∠BAC，进而可求
（2）法1：由三角形面积公式得：S_△BAD=S_△CAD，可得AC，AB之间的关系，然后在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC可得AB，BC的关系，进而可求∠ABC，进而利用正弦定理可求法2：在△ABC中，由正弦定理得：

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

，在△ABD中

AD

sin∠ABC

=

BD

sin∠BAD

结合D为中的可得

AC

AD

，然后在△ACD中，由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD•ACcos∠DAC可求CD，及BC，即可求解∠ABC
法3：取AC中点E，连接DE，则∠ADE=∠BAD，然后结合由正弦定理得：

DE

sin∠DAE

=

AE

sin∠ADE

可求

AE

AD

，进而可求

AC

AD

以下解法同法2

解答：解：（1）由题意得：sin∠BAD=

5

5

，sin∠CAD=

10

10

，（2分）
故cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）
=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=

2 5

5

.

3 10

10

-

5

5

.

10

10

=

2

2

（4分）
∵0＜∠BAC＜π
∴∠BAC=

π

4

．                                                  （6分）
（2）法1：先求∠ABC
由D为BC中点及三角形面积公式得：S_△BAD=S_△CAD
即

1

2

AB•ADsin∠BAD=

1

2

AC•ADsin∠CAD，故AC=

2

AB，（9分）
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
化简可得AB=BC，故△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=

π

2

．                （11分）
从而易得

AC

AD

=

2 2

5

=

2 10

5

（14分）
法2：先求

AC

AD

在△ABC中，由正弦定理得：

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

…（1）
在△ABD中，由正弦定理得：

AD

sin∠ABC

=

BD

sin∠BAD

…（2）（8分）
由（1）（2）及D为BC中点可得

AC

AD

=2•

5 5

2 2

=

2 10

5

，（10分）
设AC=2

10

m，则AD=5m，在△ACD中，由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD•ACcos∠DAC
可解得CD=

5

m，故BC=2

5

m，（12分）
故△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=

π

2

．                               （14分）
法3：先求

AC

AD

取AC中点E，连接DE，则∠ADE=∠BAD．
在△ADE中，由正弦定理得：

DE

sin∠DAE

=

AE

sin∠ADE

（8分）
，可得

AE

AD

=

10

5

，故

AC

AD

=

2 10

5

，（10分）
以下解法同法2

点评：本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的综合应用，解题的关键是灵活利用基本公式